نظرية ذات الحدين للعالم نيوتن لنشر المتطابقات الهامة

-Salmi •
0
نظرية ذات الحدين أو ما يسمى ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع بقوة صحيحة ما. ويطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي .
نظرية دات الحدين 

صيغة نظرية ذات الحدين 

فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x وy معرفين على مجموعة حيث xy=yx، وعددا صحيحا طبييعا n،
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k
حيث الأعداد {n \choose k} (و التي تكتب أحيانا C_{k}^n) هي المعاملات الثنائية.
هذا المجموع يعتمد على المعاملات الثنائية (التوافيق) الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.
تغيير y ب y - داخل الصيغة، يعطي الصيغة :
(x-y)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n \choose k} x^{n-k} y^k
مثال :
n=2~,\qquad(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,
n=3~,\qquad(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,
n=4~,\qquad(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,

البرهان على نظرية ذات الحدين

فلتكن x، y عناصر من مجموعة حيث xy=yx وn عددا طبيعيا صحيحا.
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k
فلنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية" :

البداية

n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0
n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1

صحة العنصر التالي

فليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1, فلنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:
حسب الافتراض الأول :
(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,
بتوزيعية \cdot على + :
(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k +y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k + y^{n+1}
بالتفكيك إلى جذاء :
(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}
باستعمال صيغة مثلث باسكال :
(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}
و هو ما ينهي التبيين الافتراضى.
لتتعرف أكثر على هذه النظرية شاهد فيديو تطبيقي لها : (شاهذ الفيديو) 

أقترح عليك قراءة  : مالا تعرفه عن نظرية فيثاغورس.. القصة الكاملة
التسميات :
أحدث أقدم